[Atelier estival] Analemme

Bonjour à tous,

Aujourd’hui, je viens vous proposer une petite activité pour occuper ces longs mois de vacances pour ceux qui ont la chance d’encore en avoir : la construction d’un analemme.

Qu’est-ce qu’un analemme ?

Vous savez déjà que le soleil bouge dans le ciel. Ou tout au mojs, semble bouger. Il se lève d’un coté, se couche de l’autre, va plus haut en été qu’en hiver, etc.

Ce que vous ne savez peut-être pas, c’est que si vous comparez la position du Soleil à la même heure tous les jours pendant un an, on obtient une forme de "8". Une petite photo juste en dessous.

Quel est le but de l’atelier ?

Il y en a deux :

• Le premier sera de comprendre d’où cet effet vient. De manière complètement fortuite, ça me permet aussi d’écrire beaucoup moins d’explication dans ce sujet initial.
• Le second sera d’écrire un programme qui permette de donner la position du Soleil dans le ciel à n’importe quel jour et heure, et n’importe quel endroit.

Il sera bien entendu possible d’approfondir. Quand je l’avais fait, j’avais calculé le nombre maximal d’heures d’ensoleillement derrière un mur pendant une année par exemple.

Prérequis

Selon le niveau de précision que vous voulez, ils peuvent être très bas. En gros, vous aurez besoin des trois relations trigonomètriques reliant cos, sin et tan aux longueurs des cotés d’un triangle. Et ce sera tout.

Pour vous guider un peu

Si vous voulez y réfléchir par vous même, ne lisez pas cette section. Mais même si vous la lisez, vous n’y trouverez pas toutes les réponses.

L’origine de l’analemme vient de la différence entre l’heure solaire et l’heure de nos montres. Le Soleil n’est pas toujours au plus haut à midi exactement. Calculer la différence va vous faire arriver sur "l’equation du temps".

Il y a deux phénomènes principaux à prendre en compte (mais selon le degré de raffinement souhaité, vous pouvez en prendre davantage) :

• l’orbite de la Terre autour du Soleil n’est pas circulaire, mais elliptique
• et les plans de la rotation autour du Soleil et de la rotation de la Terre sur elle-même ne sont pas les mêmes.

C’est à vous !

Maintenant, y’a plus qu’à ! Si vous avez des questions, n’hésitez pas. Si je vois que ça bloque, je posterai des schémas pour aider. En espérant que ça vous intéresse !

Salut,

J’ai découvert très récemment ce qu’était un analemme et c’est une super idée !

Il y a tout ce qu’il faut pour un bon atelier : différents niveaux de complexité, un peu de transversalité (géométrie, physique, et même l’histoire si on est curieux).

J’ai corrigé le lien de l’image aussi.

Je suis entrain d’améliorer mes scripts pour une éventuelle publication. Pour un test, j’ai généré une image que j’ai trouvé tellement bariolée que j’ai voulu la partager.

Je passe juste pour dire que si vous voulez vérifier vos calculs – ou que vous avez réellement besoin de ce genre d’information, il y a divers sites qui permettent de calculer ce genre d’info, et bien plus encore. Par exemple celui-ci.

Je note d’ailleurs qu’ici on voit des graphiques cartésiens, mais que les graphiques polaires sont très intéressants aussi, et infiniment plus lisibles dès qu’on s’approche des tropiques (ou pire qu’on est en zone tropicale).

Je note d’ailleurs qu’ici on voit des graphiques cartésiens, mais que les graphiques polaires sont très intéressants aussi, et infiniment plus lisibles dès qu’on s’approche des tropiques (ou pire qu’on est en zone tropicale).

Pour avoir testé, les graphiques polaires sont effectivement mieux pour les tropiques. Par contre, ils sont exécrables quand la latitude est grande, et encore pire si on veut tracer un analemme avec une partie nocturne.

Concernant mes scripts, j’ai atteint un stade où le code est suffisamment présentable, même s’il y a sûrement des défauts et potentielles erreurs. Cela se passe sur ce dépôt Github. En bref, voilà comment ça marche.

• Il y a un module bodies qui définit un certain nombre de planètes depuis lesquelles on peut observer le soleil. C’est clairement le cœur des calculs.
• Il y a un module analemma qui sait tracer des analemmes. Grossièrement, il permet, pour une certaine planète, de tracer la position du soleil chaque jour à une heure donnée.
• Il y a un petit module pour faciliter certaines conversions.
• Il y a un main qui appelle les fonctions pour afficher les figures.

J’ai fait une fonction qui trace un petit ensemble d’analemmes qui résume bien la planète depuis laquelle on observe le soleil. Dans mes explorations, je me suis amusé à créer des versions alternatives de la Terre (orbite circulaire, verticale et même les deux à la fois).

Voilà ce que cela peut donner, ici pour une Terre circulaire. On observe une belle symétrie à 12 h, ce qui n’est pas tout à fait le cas sur la véritable Terre.

Je reviens vers ce sujet que j’avais légèrement abandonné, pour commencer à donner des indications.

J’avais donc dit qu’en gros, il y avait trois effets : l’ellipsicité, l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre et l’inclinaison de l’orbite. Aujourd’hui, on va se concentrer sur le premier. Tout de suite, un petit schéma.

Puisque la trajectoire est elliptique, la vitesse suit la loi des aires de Kepler, et n’est donc pas constante. L’objectif est de calculer la différence cumulée entre le temps qu’il faudrait à la terre pour parcourir n jours en trajectoire circulaire, et le temps qu’elle met effectivement.

Pour le cas circulaire (angle a), c’est facile, on a 360 degrés et 365.25 jours par an.

Pour le cas elliptique (angle v), le travail a déjà été fait pour vous, ça s’appelle l’équation du centre. En considérant que l’ellipsicité est faible (ce qui marche pour la Terre), on peut simplifier le résultat et on obtient

v = a + 2e *sin(a) (en radian)

v = a + 360/Pi * e * sin(a) (en degré)

Dans l’idée de ne pas tout donner d’un coup, je m’arrête là. N’hésitez pas à essayer de continuer un peu. Les étapes suivantes vont être de convertir les vitesses angulaires en minutes, et de calculer l’effet de l’inclinaison de l’écliptique, pour arriver à l’équation du temps. Cette équation nous donnera la partie "horizontale" de notre analeme en fonction du jour de l’année.

Ensuite, l’inclinaison de l’orbite nous donnera la partie "verticale" en fonction du jour de l’année, et en traçant l’une en fonction de l’autre, on aura notre analeme.

Suite des indications aujourd’hui. Au programme, l’influence de l’axe de rotation de la Terre sur elle-même. Avec comme l’autre fois, un schéma pour commencer.

Donc là, ce qu’il va falloir trouver, c’est la différence entre les angles $\epsilon$ et $\beta$, ou en d’autres mots, quel est l’impact de l’angle entre le plan de la rotation de la Terre autour du soleil et le plan de la rotation de la Terre sur elle même sur la position du soleil ?

On remarquera qu’aux équinoxes, l’impact sera nul, puisqu’ils correspondent à l’intersection de ces plans (point vernal, que ça s’appelle).

Quelques données avant de commencer les calculs : l’axe de rotation de la Terre sur elle même est incliné de 23.46 degrés par rapport à l’axe de rotation de la Terre autour du Soleil. Ce nombre change un peu selon la source, étonnement, mais ce n’est pas trés important. L’équinoxe du printemps (d’où sont définis les angles $\epsilon$ et $\beta$) a lieu le 80ème jour de l’année.

Dans cette étape des calculs, on va considérer que la trajectoire est circulaire, pour tout simplifier. Si vous voulez le faire avec une trajectoire éliptique, ça se fait aussi, mais c’est plus compliqué. Tentez si vous le souhaitez !

Du coup, on va tout simplement avoir

En effet, chaque jour l’angle avancera d’une rotation complète (360 degrés) divisée par le nombre de jour dans l’année (365.25). Et on commence au jour 80, par définition de l’angle.

À vous de trouver $\beta$ ! Ce n’est "que" de la trigonométrie ! En combinant avec les résultats précédents, on obtient "l’équation du temps". L’étape suivante, qui sera la dernière, consistera à calculer la hauteur du soleil.

En relisant, c’est pas super clair, et je n’ai pas le temps de faire beaucoup mieux juste maintenant, donc n’hésitez pas à poser des questions !